El asombroso Conjunto M
Lo prometido es deuda. Os debía este post desde que escribí aquel de ¿Cómo podemos medir la costa?. Y aquí lo teneis.
Toda la descripción está basada en la que hizo Arthur C. Clarke.
Dice Clarke: “El conjunto M es el ente más complejo de todas las matemáticas y, no obstante, no requiere nada más que la suma y la multiplicación: ¡ni siquiera resta ni división! Por eso a muchas personas que tienen buenos conocimientos de matemáticas les cuesta entenderlo. Sencillamente, no se pueden creer que algo con tantas ramificaciones que no podría explorarse enteramente antes del fin del Universo, pueda obtenerse sin usar logaritmos ni funciones más trascendentes. No parece razonable que todo se consiga, simplemente, sumando cantidades”.
Vamos allá. Con un poco de matemática y otro poco de predisposición mental no costará entenderlo:
Imaginemos un diagrama corriente del tipo x-y, con los números -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 en ambos ejes. Cualquier punto de ese plano puede identificarse por dos números dentro de las coordenadas x-y. Muy bien, hasta aquí, ningún problema.
El Conjunto M se encuentra en una zona muy pequeña, cerca del principio, no excediendo del radio definido por el 2. Así que vamos eliminar mentalmente los números mayores de 2. Ahora, supongamos un punto cualquiera, de radio r al centro del diagrama. Su valor podrá estar entre 0 y como mucho 2,8 , en el supuesto más alejado del centro.
Ejercicio 1: El conjunto C
Tomamos cualquier valor del punto r y lo elevamos al cuadrado. Y repetimos la operación sucesivamente. ¿Qué sucede?
Si r=1, el valor no varía nunca.
Si r es algo mayor que uno, por poco que sea, más tarde o más temprano alcanzará el infinito.
Pero si r es algo menor que uno, después de muchas operaciones desaparecerá, valdrá cero.
Es decir, tan sólo multiplicando hemos dividido los números en dos grupos: los que multiplicados por sí mismos desaparecen, y los que se lanzan al infinito, siendo el radio 1 la barrera que los separa. Y esa barrera es una línea, delgada, pero una línea.
Ejercicio 2: El conjunto M
Para llegar al Conjunto M vamos hacer un cambio muy pequeño. Haremos igual que en el ejercicio 1, pero ahora, tras cada multiplicación sumaremos 1.
1x1 = 1 + 1 = 2; 2x2 = 4 + 1 = 5; 5x5 = 25 + 1 = 26… etc.
La primera gran diferencia es que hemos empezado por 1 y se ha disparado al infinito.
¿Qué ocurre si el número es menor que uno? ¿Desaparece? No, no desaparece. ¿Va al infinito? Tampoco... Entonces no le queda otra que tender a un número fijo, a una barrera, como antes… Pues he aquí lo asombroso: tampoco.
Cuando repitamos la operación miles de veces, el resultado oscilará en torno a un pequeño valor, pero siempre atrapado dentro del conjunto. Nuevamente, tenemos una figura que divide todos los número en dos grupos, pero en esta ocasión la barrera no es algo tan sencillo como una línea.
Sin necesidad de ampliar la figura que resulta, ya se ve que no es un circulo, ni un óvalo. Pero lo curioso es que cuando vamos mejorando su definición, a base de aumentar decimales, y procedemos a su representación gráfica, vemos que en lugar de una línea surgen infinidad de detalles. Esto sería impensable antes de la época de los ordenadores, debido a la cantidad de datos a procesar, no a su complejidad.
Cuanto más ampliamos, más figuras aparecen. Y si nos fijamos en un punto determinado, y lo aumentamos miles de veces, veremos como siempre cambia, y sus resultados no dejan impasible a nadie.
Esta es una versión muy sui generis de aproximarse al mundo de lo fractal. En internet hay un montón de información sobre el tema, por lo que me abstendré de recomendar enlaces. También podeis descargar programas que generan gráficos de fractales. Os entretendrán a la vez que inducirán la reflexión sobre el sorprendente mundo de esta todavía incipiente rama de las matemáticas.
