Lo prometido es deuda. Os debía este post desde que escribí aquel de ¿Cómo podemos medir la costa?. Y aquí lo teneis.
Toda la descripción está basada en la que hizo Arthur C. Clarke.
Dice Clarke: “El conjunto M es el ente más complejo de todas las matemáticas y, no obstante, no requiere nada más que la suma y la multiplicación: ¡ni siquiera resta ni división! Por eso a muchas personas que tienen buenos conocimientos de matemáticas les cuesta entenderlo. Sencillamente, no se pueden creer que algo con tantas ramificaciones que no podría explorarse enteramente antes del fin del Universo, pueda obtenerse sin usar logaritmos ni funciones más trascendentes. No parece razonable que todo se consiga, simplemente, sumando cantidades”.
Vamos allá. Con un poco de matemática y otro poco de predisposición mental no costará entenderlo:
Imaginemos un diagrama corriente del tipo x-y, con los números -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 en ambos ejes. Cualquier punto de ese plano puede identificarse por dos números dentro de las coordenadas x-y. Muy bien, hasta aquí, ningún problema.
El Conjunto M se encuentra en una zona muy pequeña, cerca del principio, no excediendo del radio definido por el 2. Así que vamos eliminar mentalmente los números mayores de 2. Ahora, supongamos un punto cualquiera, de radio r al centro del diagrama. Su valor podrá estar entre 0 y como mucho 2,8 , en el supuesto más alejado del centro.
Ejercicio 1: El conjunto C
Tomamos cualquier valor del punto r y lo elevamos al cuadrado. Y repetimos la operación sucesivamente. ¿Qué sucede?
Si r=1, el valor no varía nunca.
Si r es algo mayor que uno, por poco que sea, más tarde o más temprano alcanzará el infinito.
Pero si r es algo menor que uno, después de muchas operaciones desaparecerá, valdrá cero.
Es decir, tan sólo multiplicando hemos dividido los números en dos grupos: los que multiplicados por sí mismos desaparecen, y los que se lanzan al infinito, siendo el radio 1 la barrera que los separa. Y esa barrera es una línea, delgada, pero una línea.
Ejercicio 2: El conjunto M
Para llegar al Conjunto M vamos hacer un cambio muy pequeño. Haremos igual que en el ejercicio 1, pero ahora, tras cada multiplicación sumaremos 1.
La primera gran diferencia es que hemos empezado por 1 y se ha disparado al infinito.
¿Qué ocurre si el número es menor que uno? ¿Desaparece? No, no desaparece. ¿Va al infinito? Tampoco... Entonces no le queda otra que tender a un número fijo, a una barrera, como antes… Pues he aquí lo asombroso: tampoco.
Cuando repitamos la operación miles de veces, el resultado oscilará en torno a un pequeño valor, pero siempre atrapado dentro del conjunto. Nuevamente, tenemos una figura que divide todos los número en dos grupos, pero en esta ocasión la barrera no es algo tan sencillo como una línea.
Sin necesidad de ampliar la figura que resulta, ya se ve que no es un circulo, ni un óvalo. Pero lo curioso es que cuando vamos mejorando su definición, a base de aumentar decimales, y procedemos a su representación gráfica, vemos que en lugar de una línea surgen infinidad de detalles. Esto sería impensable antes de la época de los ordenadores, debido a la cantidad de datos a procesar, no a su complejidad.
Cuanto más ampliamos, más figuras aparecen. Y si nos fijamos en un punto determinado, y lo aumentamos miles de veces, veremos como siempre cambia, y sus resultados no dejan impasible a nadie.
Esta es una versión muy sui generis de aproximarse al mundo de lo fractal. En internet hay un montón de información sobre el tema, por lo que me abstendré de recomendar enlaces. También podeis descargar programas que generan gráficos de fractales. Os entretendrán a la vez que inducirán la reflexión sobre el sorprendente mundo de esta todavía incipiente rama de las matemáticas.
Como es habitual por estas fechas, muchas publicaciones se apresuran a hacer el balance de lo que, para ellas, resultó ser lo más relevante del año. National Geographic acaba de publicar su Top Ten News Stories of 2005, seleccionadas por los propios lectores.
Como podreis ver, varias tienen relación directa con el mar, lo que muestra que la temática marina, en cualquiera de sus vertientes, sigue siendo de gran interés general.
En el décimo puesto está la historia de Godzilla, el fósil de cocodrilo que tuvo un amplio eco en los medios de comunicación, llegando a decirse tonterías de este calibre: "estamos ante un monstruo marino, mitad dinosaurio, mitad pez"... ya puestos, algún día tendríamos que definir qué se entiende por monstruo marino y cuales son los requisitos para serlo (National Geographic, Dic 2005, ed. española, dedica un amplio reportaje a estos "monstruos").
En el cuarto puesto aparece el gigantesco pez gato, de 2,7 metros de envergadura y 100 kilos, capturado en las aguas del río Mekong, a su paso por Tailandia. Es un pez grande, cierto. Pero hay otros peces más grandes, como el pez luna de la foto. No sé hasta que punto merece ese cuarto puesto.
Y en el primer puesto tenemos la historia de las fotos del calamar gigante. Sobre ellas, en su momento ya hice estas observaciones. Si las fotos son ciertas -y creo que lo son, más que les pese a muchos- se merecen el podio del NG.
Hace algún tiempo leí en la prensa un artículo que hacía mención a un estudio que relacionaba la producción de percebe con los kilómetros de costa de cada plan de explotación en Galicia. El informe consideraba que todo eran “kilómetros de costa“, incluso las playas o las costas rocosas interiores de las rías, donde no se dan percebes ni aunque los planten. De ahí que las conclusiones fueron, cuando menos, "cuestionables": zonas clásicas “percebeiras” aparecían situadas en la mitad de la tabla, mientras otras mediocres ocupaban los primeros puestos de este disparatado ranking de eficiencia productiva. Pero hay otro error de más difícil solución, y es que, aún suponiendo que sólo se considerasen las zonas rocosas y expuestas al oleaje… ¿cómo se podría medir su longitud? Pensemos que hay grietas, peñascos, recovecos, islotes… y para complicarlo más todavía, la marea está contínuamente variando de nivel, alterando de nuevo todas las mediciones. Simplificar, usando mapas del litoral o cartas marinas, sería muy arriesgado, pues el error que se arrastra no es nada despreciable: 50 metros lineales de costa pueden resultar ser muchos más de 100 metros reales, medidos "in situ" para un nivel mareal determinado.
Planteamiento de la cuestión
Si cogemos un folio y lo observamos detenidamente a “ojo desnudo”, nos parecerá prácticamente liso. Pero si lo miramos con una lupa veremos hebras entrelazadas. Y a través de un microscopio ya aparece una intricada maraña tridimensional. Es decir, el aspecto del objeto varía en función de la escala que consideremos, como todo. Bueno, casi todo.
Con el perfil de la costa rocosa ocurre algo muy curioso: siempre aparece sinuosa, cualquiera que sea la escala que consideremos. Si habéis volado alguna vez a lo largo de la costa os habréis fijado en el tortuoso trazado que separa mar y tierra. Cuando el avión está aterrizando podemos ver que, aunque estamos más cerca, lo que se ve sigue siendo igual de intrincado. Una vez en tierra firme, desde un promontorio, contemplas la rompiente de las olas y... todo continúa retorcido. Y aún cuando bajes a las mismas rocas, verás que el perfil sigue siendo más o menos igual de enrevesado que cuando volabas a 10.000 metros de altura. Su aspecto apenas ha variado a pesar de haber modificado muchísimo la escala inicial.
La matemática euclídea clásica no es capaz de resolver de manera aceptable este problema de medidas en semejante caos... ¿Caos?... Eureka! Puede que la rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos y la teoría del caos sea la más apropiada para definir el perfil de la costa. Esto fue lo que pensó Bernard Sapoval, aplicando la geometría fractal al problema que planteamos. Este científico elaboró un modelo por ordenador que, basado en los fractales, desarrolla modelos de evolución y formación de costas realmente asombrosos. Evidentemente, los resultados hemos de tomarlos con ciertas reservas, ya que estamos ante una aproximación matemática a un fenómeno natural mucho más complejo. En cualquier caso, el modelo está considerado como el que más se ajusta a la descripción del perfil de las costas, según Physical Review Letters (vía New Scientist).
Benoit Mandelbrot, el Conjunto M, y Arthur C. Clarke
Curiosamente, el mismísimo Benoit Mandelbrot se hizo una pregunta idéntica a la que planteamos: ¿cuánto mide la costa de Bretaña?. Decía que “todo depende de aquello que desechamos en la medición, porque al ir contando cada vez con más precisión, debemos añadir el contorno de bahías, rocas, granos de arena, y así hasta niveles subatómicos. Esto nos va a ocurrir en toda medición, y como no tenemos a mano la costa de Bretaña, podríamos experimentar con cualquier cosa. Conforme más rugoso sea el objeto, más rápidamente crece la estimación de su longitud. Las líneas son objetos de dimensión euclídea 1, pero, salvo que sean perfectas, tendrán una dimensión fractal mayor que 1, e incluso algunas pueden llegar a 2. Se ha estimado la dimensión fractal de la costa de Bretaña en 1,2. Es, por tanto, más fractal que una circunferencia, pero menos fractal que otras curvas, como la definida por el propio Benoit Mandelbrot..
En la novela de Arthur C. Clarke titulada en España “El espectro del Titanic” (The Ghost from the Grand Banks), se explica de forma muy amena e intuitiva el Conjunto M y la geometría fractal. Por el contrario, las descripciones que pude leer en internet son realmente abstrusas, al menos para mi, así que intentaré publicar un post tal como lo cuenta Clarke. En internet, hay miles de webs dedicadas al mundo de lo fractal, e incluso programas de ordenador freeware que permiten generar fractales en casa. Y a partir de ahí, ya depende de la capacidad de adicción de cada uno, por que la verdad es que se trata de un tema que engancha mucho.
La costa fractal: En la web de Bernard Sapoval hay mucha más información y videos muy interesantes generados con sus modelos. Aquí teneis un ejemplo (pulsar el triangulito de "play" en la esquina inferior izquierda:
Hace ya unos cuantos años que conozco a Juan Freire. Por entonces, creo que era 1996 o 1997, internet comenzaba a vislumbrarse como una potente herramienta para mejorar la comercialización de los productos del mar. Yo estaba indagando el tema, y Juan, por su parte, también. Hablamos de ello largo y tendido en varias ocasiones. Finalmente, Juan y otros compañeros tuvieron éxito en la ejecución de su proyecto, mientras el mío quedó en eso, en un proyecto. Pues bien, además de compartir esta afición sobre las posibilidades de las nuevas tecnologías para una la gestión pesquera racional y lo más respetuosa posible con el medioambiente, a ambos nos gusta el mar, en particular, y la ciencia, en general.
La diferencia estriba en que la capacidad de producción de Juan es infinitamente superior a la mía. Viaja, estudia, publica, enseña en la Universidad, y genera una impresionante cantidad de información en su web y en su blog. Algo fuera de serie. Procuro seguirlo, lo que no es fácil, dada la velocidad con la que renueva contenidos.
En esta ocasión me refiero a él porque le voy piratear un buen trozo de su post de hoy, ya que me parece muy apropiado también para mi humilde blogito. Viene a cuenta, también, por su relación con la temática debatida en el reciente congreso "Sin ciencia no hay cultura", que organizaron impecablemente mis compañeros de trabajo de los Museos Científicos Coruñeses. La versión completa, y links donde seguir, la teneis aquí
La tercera cultura en Kosmópolis de John Brockman:
En 1992, en un ensayo titulado The Emerging third culture, expuse el siguiente argumento: "La tercera cultura consiste en aquellos científicos y otros pensadores del mundo empírico que, a través de su trabajo y de sus escritos expositivos, ocupan el lugar de los intelectuales tradicionales al hacer visibles los significados más profundos de nuestra vida y redefinir quién y qué somos. Durante los últimos años, el terreno de juego de la vida intelectual estadounidense ha cambiado, y los intelectuales tradicionales han quedado cada vez más marginados. Una educación de la década de 1950 en Freud, Marx y el modernismo no es una cualificación suficiente para un pensador de la de 1990. De hecho, los intelectuales estadounidenses tradicionales son, en cierto sentido, cada vez más reaccionarios, y orgullosamente (y perversamente) ajenos a muchos de los logros intelectuales verdaderamente importantes de nuestro tiempo. Su cultura, que desdeña la ciencia, a menudo no es empírica. Utiliza su propia jerga y lava sus propios trapos sucios. Se caracteriza fundamentalmente por el comentario sobre comentarios, la fuerte espiral de observaciones que acaba llegando a un punto en el que se pierde el mundo real".
Actualmente, esa cultura fósil sigue en declive, sustituida por la incipiente "tercera cultura" del título del ensayo, una referencia a la celebrada división que planteó C. P. Snow del mundo del pensamiento en dos culturas: la del intelectual literario y la del científico. Lo que presenciamos en 1992 fue la entrega del testigo de un grupo de pensadores, los intelectuales literarios tradicionales, a un nuevo grupo, los intelectuales de la nueva tercera cultura. Desde entonces, lo que tradicionalmente se había denominado "ciencia" se ha convertido en "cultura pública". Como ha señalado Stewart Brand: "La ciencia es la única noticia".
Un día como ayer, hace 20 años, la Casa de las Ciencias de La Coruña abría sus puertas. Era el primer centro nacional de divulgación científica de titularidad pública, lo que, hoy en día, se dice pronto. La semilla plantada entonces creció y maduró hasta convertirse en los Museos Científicos Coruñeses: la casa de las Ciencias (Planetarium); la casa del Hombre (Domus) y la casa de los Peces (Aquarium Finisterrae).
Al respecto, Wicho, del equipo titular de =mc2, maquero experto y ávido geek en tiempo libre, nos recuerda esta fecha en Microsiervos
Por mi parte, dos mini-anécdotas:
- Camino del aeropuerto, el taxista, sin saber en qué trabajo ni a que dedico el tiempo libre, me dice que está impresionado de la cantidad de gente que, nada más aterrizar, pregunta por los famosos museos científicos coruñeses.
- Me cuenta mi mujer que, estando en una conocida pescadería, el pescadero no paraba de recomendar a la clientela que visitasen el Acuario, y en concreto, que fueran a ver el banco de caballas del Nautilus.
Ciertamente -a mí al menos- me motiva y satisface más escuchar estos comentarios a pie de calle que muchos otros en foros de mayor rango y abolengo (supuestamente). Probablemente, por la sinceridad que emanan.
Y ya finalizo esta mención a la efeméride con un extracto de la Tesis Doctoral de Bienvenido León, "El documental de divulgación científica. Estudio de las obras de David Attenborough":
"El desconocimiento de las cuestiones científicas y tecnológicas por parte de los ciudadanos puede afectar también al funcionamiento de las estructuras políticas sobre las que se asienta la sociedad. Sobre este tema, Francisco de Blas escribe que “no podemos hablar de verdadera democracia si los ciudadanos no comprenden en qué medida las decisiones políticas tienen una motivación científica” . Esta función política de la divulgación científica cobra una especial significación en la sociedad de fines del s. XX, en la que la ciencia y la tecnología tienen una presencia cada vez más notoria en la vida de los ciudadanos, por lo que cada vez son más numerosas e importantes las decisiones políticas en las que la ciencia juega un papel destacado.
Sólo en una sociedad en la que existe verdadera divulgación puede fomentarse un debate inteligente sobre las cuestiones acerca de las que los ciudadanos han de decidir directa o indirectamente.
Además, la sociedad dedica atención a la ciencia no sólo porque busca el conocimiento en sí mismo, sino también porque es consciente de que el saber facilita la resolución de determinadas necesidades. Por eso, la divulgación científica cobra especial relevancia como elemento que puede reestructurar la vida del sujeto y paliar la creciente inadaptación del hombre a un mundo fuertemente impregnado por la ciencia y la técnica".
